Question

Sea z∈C definido como z= (5−2i)n+(5+2i)n con n∈N. Demuestre que Im(z) = 0

Answer 1

Para demostrar que Im(z) = 0, debemos expresar z en términos de su parte real y su parte imaginaria. Desarrollando los términos de la suma, obtenemos:

z = (5−2i)n + (5+2i)n

z = (5^n)(cos(θ)-i sen(θ)) + (5^n)(cos(θ)+i sen(θ)) [Donde θ es el ángulo cuyo tangente es 2/5]

z = 2(5^n)cos(θ)

Entonces, la parte imaginaria de z es cero, ya que no hay términos que involucren la unidad imaginaria i. Por lo tanto, Im(z) = 0, como se quería demostrar.Para demostrar que Im(z) = 0, debemos expresar z en términos de su parte real y su parte imaginaria. Desarrollando los términos de la suma, obtenemos:

z = (5−2i)n + (5+2i)n

z = (5^n)(cos(θ)-i sen(θ)) + (5^n)(cos(θ)+i sen(θ)) [Donde θ es el ángulo cuyo tangente es 2/5]

z = 2(5^n)cos(θ)

Entonces, la parte imaginaria de z es cero, ya que no hay términos que involucren la unidad imaginaria i. Por lo tanto, Im(z) = 0, como se quería demostrar.