Question

((a+b)/(a-b) + (a²+b²)/(a²-b²)) / ((a-b)/(a+b) - (a³-b³)/(a³+b³))​

Answer 1

The expression
`(a+b)/(a-b) +(a^(2)+b^(2) )/(a^(2)-b^(2) )` /
`(a-b)/(a+b) -(a^(3) -b^(3) )/(a^(3) +b^(3) )` is simplified to
`(a^(2) +ab+b^(2))/(b^(2) -ab) }`

How to simplify the expression

`(a+b)/(a-b) +(a^(2)+b^(2) )/(a^(2)-b^(2) )` /
`(a-b)/(a+b) -(a^(3) -b^(3) )/(a^(3) +b^(3) )`

To simplify this

`((a+b)(a+b)+a^(2) +b^(2) )/(a^(2) -b^(2) )` /
`((a^(3) -b^(3)) (a-b)-(a+b)(a^(3) -b^(3) ))/((a+b)(a^(3) +b^(3) ))`

Expand

`(a^(2) +2ab+b^(2) +a^(2) +b^(2) )/(a^(2) -b^(2) )` /
`(a^(4) -a^(3)b -ab^(3) +b^(4) -(a^(4) -ab^(3) +a^(3) b -b^(4) ))/((a+b)(a^(3) +b^(3) ))`

`(2a^(2) +2ab+2b^(2) )/(a^(2)-b^(2) )` /
`(a^(4) -a^(3)b -ab^(3) +b^(4) -a^(4) +ab^(3) -a^(3) b +b^(4) )/((a+b)(a^(3) +b^(3) ))`

`(2a^(2) +2ab+2b^(2) )/(a^(2)-b^(2) )` /
`(2b^(4) -2a^(3) b)/((a+b)(a^(3) +b^(3) ))`

`(2a^(2) +2ab+2b^(2) )/(a^(2)-b^(2) )` *
`((a+b)(a^(3) -b^(3) ) )/(2b^(4) -2a^(3) b)`

`(2(a^(2) +ab+b^(2)) )/(a^(2)-b^(2) )` *
`((a+b)(a^(3) -b^(3) ) )/(2b(b^(3) -a^(3) ))`

`(2(a^(2) +ab+b^(2)) )/((a-b)(a+b)) }` *
`((a+b)(a^(3) -b^(3) ) )/(-2b(-b^(3) +a^(3) ))`

`(2(a^(2) +ab+b^(2)) )/((a-b) )` *
`(1)/(-2b)`

`(a^(2) +ab+b^(2))/((a-b)) }` *
`(1)/(-b)`

=
`(a^(2) +ab+b^(2))/(b^(2) -ab) }`

Therefore,
`(a-b)/(a+b) -(a^(3) -b^(3) )/(a^(3) +b^(3) )` is simplified to
`(a^(2) +ab+b^(2))/(b^(2) -ab) }`