Question

Exercice 1: Solide particulier

Voici le schéma d'un bâtiment ayant la
forme d'un tronc de pyramide à base carrée
inversée.
1. À l'aide des formules de trigonométrie,
calculer la longueur AI en m. Arrondir au
centième.
2. En déduire l'aire, en m², du plafond ABCD
de ce bâtiment. Arrondir au centième.
Exercice 2: Longueur de piste
La ville Bonvivre possède une plaine de jeux bordée d'une piste cyclable. La piste
cyclable a la forme d'un rectangle ABCD dont on a « enlevé 3 des coins »>.
Le chemin de G à H est un arc de cercle ; les chemine de E à F et de J à I sont des
segments.
En vous aidant des informations données par le croquis, déterminer la longueur de la
piste cyclable. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au mètre près.

Answer 1

Explanation:

Exercice 1:

1. On peut voir que le triangle ABC est rectangle en A. On sait que AB = 10 m, BC = 6 m, donc AC = √(AB² + BC²) = √(10² + 6²) = √136. Ce triangle est aussi rectangle en I et on sait que sin BAI = BC / AC, donc sin BAI = 6 / √136 et donc BAI = arcsin(6 / √136) ≈ 33,35°. En utilisant la formule du cosinus dans le triangle BAI, on a AI² = AB² + BI² - 2AB × BI × cos BAI. Or, BI = BC - CI = 6 - 3 = 3 et cos BAI = cos(90° - BAI) = sin BAI, donc AI² = 10² + 3² - 2 × 10 × 3 × sin 33,35 ≈ 95,67 et AI ≈ 9,78 m.

2. L'aire de la base du bâtiment est (10 × 10) / 2 = 50 m². Il ne reste plus qu'à calculer l'aire de la pyramide en utilisant la formule A = (aire de la base × hauteur) / 3. La hauteur est égale à AI, donc A = (50 × 9,78) / 3 ≈ 163 m².

Exercice 2:

On peut voir que la longueur des côtés AB et DC est 400 m - 40 m = 360 m, et la longueur des côtés BC et AD est 600 m - 40 m = 560 m. La longueur de l'arc GH est égale à la circonférence d'un cercle de rayon EG = FH = 40 m et d'angle 90°, donc GH = (90 / 360) × 2π × 40 = π × 10 ≈ 31,42 m. En utilisant le théorème de Pythagore, on peut calculer la longueur des segments EF et JI qui est égale à √(60² + 40²) = √5200 ≈ 72,11 m. La longueur totale de la piste cyclable est donc 2 × (360 + 560) + GH + 2 × EF + 2 × JI ≈ 2015,64 m.